Math-00.数学分布-20.正态分布

正态分布（Normal distribution），又称高斯分布（Gaussian distribution），是连续概率论中最重要的分布：中心极限定理保证大量独立随机变量和趋近正态，是 Z 检验、线性回归噪声假设与测量误差模型的默认参考。

段末注释：CLT（central limit theorem）为中心极限定理；独立同分布随机变量和在大样本下近似正态。

读前说明：连续分布，下文给出 PDF（probability density function，概率密度函数），无 PMF。系列：00 规划。

1. 产生背景与直观

$图 1　正态直观$

高斯在研究天文观测误差时发现：大量微小独立误差叠加 → 钟形曲线。直觉：

酶活重复测定围绕真值的波动
大量独立噪声之和
样本均值在大 $n$ 下的分布（CLT）

2. 定义与参数

$X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$：

要素	内容
支撑集	$(-\infty, +\infty)$
参数	$\mu \in \mathbb{R}$（位置/均值），$\sigma > 0$（尺度/标准差）

标准正态：$Z \sim \mathcal{N}(0, 1)$。

3. PDF 与 CDF

$图 2　PDF 钟形曲线$

3.1 PDF

$$
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi},\sigma} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)
$$

3.2 CDF

$$
F(x) = \Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)
$$

$\Phi$ 为标准正态 CDF。分位数：$x_p = \mu + \sigma \cdot \Phi^{-1}(p)$。参见百分位数。

经验法则：约 68% 落在 $\mu \pm \sigma$，95% 在 $\mu \pm 2\sigma$，99.7% 在 $\mu \pm 3\sigma$。

4. 数字特征

量	值
期望	$\mu$
方差	$\sigma^2$
偏度	$0$
超额峰度	$0$
矩母函数	$M(t) = \exp(\mu t + \frac{1}{2}\sigma^2 t^2)$

5. 与其他分布的关系

关系	说明
CLT	i.i.d. 均值 $\bar{X}_n \approx \mathcal{N}(\mu, \sigma^2/n)$ → 31.抽样
多元推广	$\mathbf{X} \sim \mathcal{N}_d(\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\Sigma})$ → 30.多元正态
$\chi^2$	$n$ 个标准正态平方和 $\sim \chi^2_n$
t 分布	$Z/\sqrt{V/\nu}$，$Z \sim \mathcal{N}(0,1)$ → 27.t
对数正态	若 $\log X \sim \mathcal{N}$，则 $X$ 右偏 → 规划 21
Poisson 极限	$\lambda$ 大时 Poisson $\approx$ Normal
线性回归	$\varepsilon \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$ → 高斯似然 = MSE

6. 前提假设

作为数据生成模型：

假设	含义	违背时
连续对称	取值连续，密度关于均值对称	右偏正值 → 对数正态
钟形单峰	中间高、两端低	多峰/厚尾 → 混合或 $t$
有限方差	$\mathrm{Var}(X)<\infty$	厚尾极端 → 稳定分布等

作为推断参考（CLT / 回归残差）：

假设	含义	违背时
i.i.d. 或 CLT 条件	样本独立，或和/均值来自大量弱相关因子	小样本偏态 → t
同方差（回归）	残差方差恒定	异方差 → 加权/稳健方法

段末注释：CLT（central limit theorem，中心极限定理）说明独立同分布和在大样本下趋近正态。

7. 适用场景

$图 3　适用场景$

场景	示例
测量误差	仪器读数、酶活重复实验
样本均值	大样本下均值分布（CLT）
回归残差	线性模型噪声（近似）
PLM 嵌入	高维向量分量近似正态（启发式）
QC 控制图	$\mu \pm 3\sigma$ 界限

8. 局限与误用

$图 4　局限$

误用	后果
右偏数据直接均值比较	应取对数 → 对数正态，或秩检验
小样本强行 Z 检验	应用 t 分布
重尾数据当正态	极端值概率低估
多峰分布单峰拟合	混合正态或分组建模
未检验正态性即用参数检验	见 Math-01 正态性检验

9. 参数估计与推断

9.1 MLE

样本 $x_1,\ldots,x_n$：

$$
\hat{\mu} = \bar{x}, \quad \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2
$$

（无偏估计分母用 $n-1$。）

9.2 检验

Z 检验：$\sigma$ 已知，大样本均值
t 检验：$\sigma$ 未知，小样本 → 27.t
Shapiro-Wilk / K-S：正态性检验
存量：两组数据差异显著性检验

10. 示例与代码

场景：10 次酶活测定（相对 WT），检验均值是否显著 $> 1$。

import numpy as np
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt

data = np.array([1.05, 0.98, 1.12, 1.01, 0.95, 1.08, 1.15, 0.99, 1.03, 1.07])
mu_hat, sigma_hat = data.mean(), data.std(ddof=1)
print(f"mean={mu_hat:.4f}, std={sigma_hat:.4f}")

# 单样本 t 检验 H0: mu=1
t_stat, p_val = stats.ttest_1samp(data, popmean=1.0)
print(f"t-test vs 1.0: t={t_stat:.3f}, p={p_val:.4f}")

# PDF 叠加直方图
x = np.linspace(0.85, 1.25, 200)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 4))
ax.hist(data, bins=6, density=True, alpha=0.6, label='data')
ax.plot(x, stats.norm.pdf(x, mu_hat, sigma_hat), 'r-', lw=2, label='fitted Normal')
ax.set_xlabel('relative activity'); ax.legend()
plt.savefig('normal_enzyme_activity.png', dpi=150)

# QQ 图检验正态性
fig2 = stats.probplot(data, dist="norm", plot=plt)
plt.savefig('normal_qq_plot.png', dpi=150)

# 分位数
print("90th percentile:", stats.norm.ppf(0.9, mu_hat, sigma_hat))

11. 小结

$\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$：钟形、对称；CLT 与误差模型的核心。
大样本均值 → 正态；$\sigma$ 未知小样本 → t。
右偏实验数据优先考虑对数变换或对数正态。

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参考文献

scipy.stats.norm