Math-00.数学分布-24.Gamma分布

Gamma 分布（Gamma distribution）是正数上的灵活分布族，可视为 $k$ 个独立指数分布之和，也是卡方分布、泊松率参数的共轭先验。

段末注释：共轭先验（conjugate prior）指后验与先验同属一族，便于解析更新；Gamma 是 Poisson/指数率的共轭先验。

读前说明：连续分布，下文给出 PDF。系列：00 规划 | 相关：22.指数。

1. 产生背景与直观

$图 1　Gamma 直观$

等待第 $k$ 次 泊松事件发生的总时间 $\sim \mathrm{Gamma}(k, \lambda)$。$k=1$ 时退化为指数；$k$ 增大，分布更对称、更集中。

2. 定义与参数

$X \sim \mathrm{Gamma}(\alpha, \beta)$（shape–rate 参数化，scipy gamma(a, scale=1/beta)）：

要素	内容
支撑集	$(0, +\infty)$
shape	$\alpha > 0$（形状，有时记 $k$）
rate	$\beta > 0$（率，有时记 $\lambda$）
scale	$\theta = 1/\beta$

3. PDF 与 CDF

$图 2　PDF 随 α 变化$

3.1 PDF（rate 参数化）

$$
f(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x}, \quad x > 0
$$

$\Gamma(\alpha)$ 为 Gamma 函数；$\alpha \in \mathbb{N}$ 时 $\Gamma(\alpha)=(\alpha-1)!$。

3.2 CDF

$$
F(x) = \frac{\gamma(\alpha, \beta x)}{\Gamma(\alpha)}
$$

$\gamma(\cdot,\cdot)$ 为下不完全 Gamma 函数。

4. 数字特征

量	公式
$\mathbb{E}[X]$	$\alpha / \beta$
$\mathrm{Var}(X)$	$\alpha / \beta^2$
偏度	$2/\sqrt{\alpha}$
超额峰度	$6/\alpha$

$\alpha$ 越大越接近正态（CLT 视角）。

5. 与其他分布的关系

关系	说明
Exponential	$\alpha=1$：$\mathrm{Gamma}(1,\beta)=\mathrm{Exp}(\beta)$
Chi-square	$\chi^2_\nu = \mathrm{Gamma}(\nu/2, 1/2)$ → 26.卡方
Poisson–Gamma	率 $\lambda \sim \mathrm{Gamma}$，边际计数 → 负二项
Erlang	$\alpha \in \mathbb{N}^+$ 的 Gamma
Beta 连接	若 $X,Y$ i.i.d. $\mathrm{Gamma}(\alpha,\beta)$，则 $X/(X+Y) \sim \mathrm{Beta}(\alpha,\alpha)$

6. 前提假设

假设	含义	违背时
$X>0$	等待时间、速率、浓度等为正	—
独立指数和（经典）	$k$ 次独立 Poisson 事件的总等待时间	非独立 → 其他
形状-尺度合理	$\alpha$（形状）、$\beta$（率）解释与数据匹配	风险非单调 → Weibull
共轭先验语境	与 Poisson 似然配对时 $\lambda$ 的先验	非计数数据 → 核对生成机制

段末注释：Exp$(\lambda)$ = Gamma$(1,\lambda)$；与 Beta 通过归一化联系。

7. 适用场景

$图 3　适用场景$

场景	示例
等待 $k$ 次事件	第 $k$ 次故障前的总时间
贝叶斯 Poisson 率	先验 $\lambda \sim \mathrm{Gamma}(\alpha_0,\beta_0)$
方差建模	逆 Gamma 作 $\sigma^2$ 先验
rainfall / 保险	累积降雨量、索赔总额
酶活置信	正值偏态数据的灵活拟合

8. 局限与误用

$图 4　局限$

问题	说明
参数化混用	shape-scale vs shape-rate，读文献须核对
重尾不足	极端值 → 对数正态 / Pareto
含零或负值	支撑集 $(0,\infty)$，不适用
$\alpha < 1$	PDF 在 0 处奇异，拟合需谨慎
与 Weibull 混淆	不同 hazard 形状

9. 参数估计与推断

9.1 MLE / 矩估计

矩估计：$\hat{\alpha} = \bar{x}^2 / s^2$，$\hat{\beta} = \bar{x} / s^2$（$s^2$ 为样本方差）。

9.2 贝叶斯更新

Poisson 似然 + Gamma 先验 $\mathrm{Gamma}(\alpha_0,\beta_0)$，观测总数 $S$、时间 $T$：

$$
\lambda \mid \text{data} \sim \mathrm{Gamma}(\alpha_0 + S,; \beta_0 + T)
$$

10. 示例与代码

场景：等待第 3 次测序错误（率 $\lambda=0.1$/hour），模拟总等待时间。

import numpy as np
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt

alpha, beta = 3, 0.1  # shape=3, rate=0.1
samples = stats.gamma.rvs(alpha, scale=1/beta, size=5000, random_state=42)

print(f"E theory={alpha/beta}, sim={samples.mean():.2f}")
print(f"Var theory={alpha/beta**2:.2f}, sim={samples.var():.2f}")

# chi-square link: chi2(6) = Gamma(3, 0.5)
x = np.linspace(0, 80, 200)
fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 4))
ax[0].hist(samples, bins=40, density=True, alpha=0.6)
ax[0].plot(x, stats.gamma.pdf(x, alpha, scale=1/beta), 'r-', lw=2)
ax[0].set_title(f'Gamma({alpha}, {beta})')

for a, label in [(1, 'Exp'), (2, 'Erlang-2'), (5, 'shape=5')]:
    ax[1].plot(x, stats.gamma.pdf(x, a, scale=1/beta), label=label)
ax[1].legend(); ax[1].set_title('varying shape α')
plt.savefig('gamma_demo.png', dpi=150)

11. 小结

Gamma($\alpha,\beta$)：$k$ 个指数之和；连接 Exp、$\chi^2$、Poisson 共轭。
正值偏态数据的通用族；注意 scipy 的 scale = $1/\beta$。

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参考文献

scipy.stats.gamma