Math-00.数学分布-28.F分布

F 分布（F-distribution）是两个独立卡方分布变量（各自除以自由度）之比的分布，是方差齐性检验与方差分析（ANOVA）中 F 统计量的参考分布。

段末注释：ANOVA（analysis of variance）通过比较组间与组内方差判断多组均值是否相等。

读前说明：连续分布，支撑集 $(0,+\infty)$。系列：26 卡方 | Math-01 F检验。

1. 产生背景与直观

$图 1　两方差之比$

设 $U \sim \chi^2_{d_1}$，$V \sim \chi^2_{d_2}$ 独立，则

$$
F = \frac{U/d_1}{V/d_2} \sim F(d_1, d_2)
$$

直觉：比较两组数据的波动幅度是否相同，或多组均值差异是否超过组内随机波动。

2. 定义与参数

$X \sim F(d_1, d_2)$：

要素	内容
支撑集	$(0, +\infty)$
参数	分子自由度 $d_1$，分母自由度 $d_2$

3. PDF 与 CDF

$图 2　右偏 PDF$

3.1 PDF

$$
f(x) = \frac{\sqrt{(d_1 x)^{d_1} d_2^{d_2}}}{x, B(d_1/2, d_2/2),(d_1 x + d_2)^{(d_1+d_2)/2}}, \quad x>0
$$

$B$ 为 Beta 函数。实际计算用 scipy.stats.f。

3.2 分位数

$F_{\alpha}(d_1,d_2)$ 为 ANOVA / F 检验临界值；注意单尾解释。

4. 数字特征

量	公式（$d_2>2$）
$\mathbb{E}[X]$	$d_2/(d_2-2)$
$\mathrm{Var}(X)$	$\dfrac{2d_2^2(d_1+d_2-2)}{d_1(d_2-2)^2(d_2-4)}$（$d_2>4$）
众数	$\dfrac{d_2(d_1-2)}{d_1(d_2+2)}$（$d_1>2$）

$d_2$ 大时 $F$ 接近 1。

5. 与其他分布的关系

关系	说明
$\chi^2$	$F(d_1,d_2) = \dfrac{\chi^2_{d_1}/d_1}{\chi^2_{d_2}/d_2}$
t 分布	$t^2(\nu) = F(1, \nu)$ → 27
方差比	两独立正态样本方差比 $\sim F(n_1-1, n_2-1)$
ANOVA	组间 MS / 组内 MS $\sim F(k-1, N-k)$

6. 前提假设

作为检验统计量分布：

假设	含义	违背时
正态总体（ANOVA）	各组独立正态	非正态 → Kruskal-Wallis 等
方差齐性	各组 $\sigma^2$ 相等	Welch ANOVA
独立组/独立样本	组间、组内独立	重复测量 → 混合模型
$\chi^2$ 构成独立	$F=\frac{\chi_1^2/d_1}{\chi_2^2/d_2}$ 分子分母独立	—

段末注释：F 分布通常不直接对原始观测建模，而是方差比、ANOVA 等检验的参考分布。

7. 适用场景

$图 3　ANOVA 与方差比$

场景	示例
方差齐性检验	Levene / F 检验（两组方差）
单因素 ANOVA	多组酶活条件比较
回归整体显著性	模型 MSR/MSE
方差成分	实验设计

存量：两组数据差异显著性检验中 F 检验条目。

8. 局限与误用

$图 4　局限$

误用	后果
非正态 + 小样本 ANOVA	I 类错误率失真
方差不齐仍用标准 ANOVA	用 Welch ANOVA
多重比较不校正	仅 F 显著不够，需 post-hoc
双尾/单尾混淆	F 检验通常单尾（右尾）

9. 参数估计与推断

F 分布作为检验统计量分布，而非直接对观测值建模。

单因素 ANOVA：

$$
F = \frac{\mathrm{MS}{\mathrm{between}}}{\mathrm{MS}{\mathrm{within}}} \sim F(k-1,, N-k)
$$

两组方差比：

$$
F = \frac{s_1^2}{s_2^2} \sim F(n_1-1, n_2-1)
$$

10. 示例与代码

import numpy as np
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt

# 三组酶活 ANOVA
g1 = [1.0, 1.1, 0.95, 1.05, 1.02]
g2 = [1.2, 1.3, 1.15, 1.25, 1.18]
g3 = [0.9, 0.85, 0.92, 0.88, 0.91]
F, p = stats.f_oneway(g1, g2, g3)
print(f"one-way ANOVA: F={F:.3f}, p={p:.4f}")

# 两组方差比 F 检验
s1 = np.var(g1, ddof=1)
s2 = np.var(g2, ddof=1)
F_var = s1 / s2
p_var = 2 * min(stats.f.cdf(F_var, len(g1)-1, len(g2)-1),
                1 - stats.f.cdf(F_var, len(g1)-1, len(g2)-1))
print(f"variance ratio F={F_var:.3f}, two-tailed p≈{p_var:.4f}")

x = np.linspace(0.01, 5, 300)
for d1, d2 in [(5, 10), (10, 10), (30, 30)]:
    plt.plot(x, stats.f.pdf(x, d1, d2), label=f'F({d1},{d2})')
plt.legend(); plt.savefig('f_pdf.png', dpi=150)

11. 小结

$F(d_1,d_2)$：$\chi^2$ 之比；ANOVA 与方差齐性的标准参考。
与 26 $\chi^2$、27 t 一体掌握。

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