Math-00.数学分布-40.极限与近似关系

本文汇总 Math-00 数学分布 系列中各分布之间的极限与近似关系，回答「何时可用简单分布替代复杂分布」——这是选择检验方法、样本量规划与近似推断的理论依据。

段末注释：CLT（central limit theorem）为中心极限定理；LLN（law of large numbers）为大数定律。

读前说明：本篇为关系专论，不对应单一分布的 PMF/PDF；下文给出核心极限公式。系列：00 规划 | 01 总论。

1. 为什么需要极限近似

$图 1　分布极限关系总览$

精确计算往往复杂：二项 PMF 含组合数、小样本 $t$ 检验用精确分布。当 $n$ 大或参数满足条件时，极限分布给出闭式近似，计算更快、与经典检验直接对接。

2. 收敛类型

类型	符号	含义
依分布收敛	$X_n \xrightarrow{d} X$	CDF 点点收敛
依概率收敛	$X_n \xrightarrow{p} \mu$	LLN
几乎必然	$X_n \xrightarrow{a.s.} \mu$	强 LLN

实务中「$n$ 足够大时近似成立」指依分布收敛。

3. 核心极限公式

$图 2　二项→泊松→正态链条$

3.1 二项 → 泊松

若 $X_n \sim \mathrm{Binomial}(n, p_n)$，$np_n \to \lambda$（$n \to \infty$，$p_n \to 0$）：

$$
X_n \xrightarrow{d} \mathrm{Poisson}(\lambda)
$$

经验法则：$n \ge 20$ 且 $p \le 0.05$，或 $np < 10$ 时 Poisson 近似可用。→ 11.二项、12.泊松

3.2 二项 → 正态（de Moivre–Laplace）

$n$ 大，$np$ 与 $n(1-p)$ 均 $\ge 5$：

$$
\frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}} \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0,1)
$$

→ 20.正态

3.3 泊松 → 正态

$\lambda$ 大（常 $\lambda \ge 10$）：

$$
\frac{X - \lambda}{\sqrt{\lambda}} \approx \mathcal{N}(0,1)
$$

3.4 中心极限定理（CLT）

i.i.d. $X_i$，$\mathbb{E}[X_i]=\mu$，$\mathrm{Var}(X_i)=\sigma^2$：

$$
\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0,1)
$$

3.5 t → 正态

$\nu \to \infty$：$t_\nu \xrightarrow{d} \mathcal{N}(0,1)$。→ 27.t

3.6 其他

关系	条件
$\chi^2_\nu$ → 正态	$\nu$ 大
$\mathrm{Binomial} \to \mathrm{Beta}$	贝叶斯极限
几何 → 指数	连续化等待时间

4. 数字特征在极限下的传递

源分布	极限	期望/方差
Bin($n,p$)	Po($\lambda$)	$np \to \lambda$，$np(1-p) \to \lambda$
Bin($n,p$)	Normal	$\mu=np$，$\sigma^2=np(1-p)$
Po($\lambda$)	Normal	$\mu=\sigma^2=\lambda$
$\bar{X}_n$	Normal	$\mu$ 不变，$\mathrm{Var}(\bar{X}_n)=\sigma^2/n$

5. 分布族关系图

$图 3　适用场景$

Bernoulli(p)
    ↓ n 次独立
Binomial(n,p) ──n大,p小,np=λ──→ Poisson(λ) ──λ大──→ Normal
    │                                    ↑
    └──n大,np与n(1-p)均≥5───────────────┴──→ Normal(np, np(1-p))

i.i.d. 任意(有限方差) ──CLT,n大──→ Normal(μ, σ²/n)  [样本均值]

Exp(λ) ──k 个独立同分布求和──→ Gamma(k,λ) ──k大──→ Normal

t(ν) ──ν→∞──→ Normal(0,1)

6. 前提假设（各近似通用）

每种极限/近似都有独立前提，使用前须逐条核对：

近似	核心前提	常见失效
二项 → 泊松	$n\to\infty,,p\to 0,,np\to\lambda$	$n$ 小或 $p$ 不小
二项 → 正态	$n$ 大，$np$ 与 $n(1-p)$ 均 $\ge 5$（经验）	$p$ 极端小样本
泊松 → 正态	$\lambda$ 大	$\lambda$ 小
$t$ → 正态	$\nu\to\infty$	小 $\nu$ 厚尾
超几何 → 二项	$N\gg n$	$n/N$ 大
CLT	i.i.d. 有限方差，$n$ 大	厚尾/强相关

段末注释：近似是计算便利而非理论替代；边界情形应优先精确分布或模拟。

7. 适用场景

场景	用哪种近似
稀有事件计数	Bin → Poisson
大样本比例 Z 检验	Bin → Normal
RNA-seq 大 $\lambda$ 基因	Poisson → Normal
样本均值置信区间	CLT → Normal
小样本 $\sigma$ 未知	用 t，勿强行 Normal

8. 局限与误用

$图 4　近似失效情形$

误用	后果
$np$ 过小仍用正态	比例检验 I 类错误失真
Poisson 过离散仍用 Poisson	低估方差 → 假阳性
偏态/重尾用 CLT	$n$ 需更大；或改用 bootstrap
小 $\nu$ 用 Z 代替 t	置信区间过窄
忽略连续性校正	离散→连续近似偏差

连续性校正（二项→正态）：

$$
P(X \le k) \approx \Phi\left(\frac{k + 0.5 - np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)
$$

9. 何时用精确 vs 近似

条件	建议
$n \le 30$，$p$ 近 0/1	精确二项
$np < 5$ 或 $n(1-p) < 5$	精确二项或 Poisson
$n$ 大，$0.1 < p < 0.9$	正态近似 + 连续性校正
$\sigma$ 未知，$n$ 小	t 检验
任意分布，$n$ 大	CLT 用于 $\bar{X}$

10. 数值演示

场景：比较 Bin(100, 0.05) 与 Poisson(5)、Normal(5, 4.75) 的 PMF/CDF。

import numpy as np
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt

n, p = 100, 0.05
lam = n * p
k = np.arange(0, 15)

binom_pmf = stats.binom.pmf(k, n, p)
poisson_pmf = stats.poisson.pmf(k, lam)
# normal approx with continuity correction on CDF
normal_cdf = stats.norm.cdf(k + 0.5, lam, np.sqrt(lam))

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 4))
axes[0].plot(k, binom_pmf, 'o-', label='Bin(100,0.05)')
axes[0].plot(k, poisson_pmf, 's--', label='Po(5)')
axes[0].set_title('PMF: Binomial vs Poisson'); axes[0].legend()

binom_cdf = stats.binom.cdf(k, n, p)
poisson_cdf = stats.poisson.cdf(k, lam)
axes[1].plot(k, binom_cdf, 'o-', label='Bin CDF')
axes[1].plot(k, poisson_cdf, 's--', label='Po CDF')
axes[1].plot(k, normal_cdf, '^:', label='Normal approx CDF')
axes[1].set_title('CDF comparison'); axes[1].legend()
plt.savefig('limit_bin_poisson_normal.png', dpi=150)

# CLT demo: exponential samples
rng = np.random.default_rng(42)
means = [stats.expon.rvs(size=n, random_state=rng).mean()
         for n in [5, 30, 100]]
print("sample means (Exp(1)):", [f'{m:.2f}' for m in means])

11. 小结

Bin → Po → Normal 是离散计数最常用的近似链；条件为 $np$、$\lambda$ 足够大。
CLT 保证样本均值渐近正态；t 是小样本 $\sigma$ 未知的修正。
近似前检查条件；不满足时用精确检验或 bootstrap。

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参考文献

Feller W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications.
scipy.stats 各分布文档