Math-01.显著性检验-02.t检验

t 检验（t-test）比较连续变量均值，在总体标准差 $\sigma$ 未知时用样本标准差 $S$ 标准化，检验统计量服从 t 分布。是酶学重复实验、A/B 测试（小样本）最常用的参数检验。

段末注释：t 检验由 William Gosset（Student）提出；$H_0$ 下 $T \sim t_{n-1}$ 见 31.抽样分布。

系列：01 总论 | 分布：27.t

1. 检验问题（D1）

$图 1　t 检验直观$

类型	$H_0$	$H_1$ 示例
单样本	$\mu = \mu_0$	$\mu \neq \mu_0$ 或 $\mu > \mu_0$
独立双样本	$\mu_1 = \mu_2$	$\mu_1 \neq \mu_2$
配对	$\mu_d = 0$（差值均值）	$\mu_d \neq 0$

2. 数据条件（D2）

条件	说明
连续	因变量为连续或近似连续
独立	观测独立（配对除外，配对看差值）
正态性	总体或差值近似正态；$n$ 小更敏感
方差齐性	双样本等方差 t；不齐用 Welch t

3. 检验统计量（D3–D4）

$图 2　t 统计量与 t 分布$

3.1 单样本

$$
T = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}} \sim t_{n-1} \quad (H_0 \text{ 下})
$$

3.2 独立双样本（合并方差）

$$
T = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{S_p \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}, \quad
S_p^2 = \frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}
$$

自由度 $n_1+n_2-2$。Welch t 不假设方差相等，自由度近似。

3.3 配对

对差值 $d_i = x_i - y_i$：

$$
T = \frac{\bar{d}}{S_d / \sqrt{n}} \sim t_{n-1}
$$

4. 适用场景（D5–D7）

$图 3　适用场景$

场景	类型
酶活 vs WT（$n<30$）	单样本 / 双样本
处理 vs 对照（独立）	独立双样本
同一克隆处理前后	配对 t
药物 vs 安慰剂（小 $n$）	独立双样本

5. 局限与误用（D8）

$图 4　局限$

问题	应对
严重偏态 + 小 $n$	Mann-Whitney 或变换
方差不齐仍用合并 t	`equal_var=False`（Welch）
配对数据用独立 t	用配对 t
多重比较未校正	Bonferroni / FDR
仅看 p 不看 Cohen’s $d$	报告效应量

6. 解读（D9–D10）

p < 0.05：在 $\alpha=0.05$ 下拒绝 $H_0$，称「差异显著」
95% CI：若不包含 0（双样本差）或 $\mu_0$（单样本），与双侧检验一致
Cohen’s $d$：$d = (\bar{X}_1-\bar{X}_2)/S_p$，小 0.2 / 中 0.5 / 大 0.8

7. 示例代码

import numpy as np
from scipy import stats

rng = np.random.default_rng(42)
wt = rng.normal(1.0, 0.15, 8)
mut = rng.normal(1.25, 0.18, 8)

# 独立双样本 Welch t
t, p = stats.ttest_ind(mut, wt, equal_var=False)
print(f"Welch t={t:.3f}, p={p:.4f}")

# 单样本：mut 是否 > 1.0
t1, p1 = stats.ttest_1samp(mut, popmean=1.0, alternative="greater")
print(f"one-sample greater: t={t1:.3f}, p={p1:.4f}")

# 配对
before = rng.normal(1.0, 0.1, 10)
after = before + rng.normal(0.2, 0.05, 10)
t_p, p_p = stats.ttest_rel(after, before)
print(f"paired: t={t_p:.3f}, p={p_p:.4f}")

# 置信区间（差值）
ci = stats.t.interval(0.95, df=len(mut)+len(wt)-2,
                      loc=mut.mean()-wt.mean(),
                      scale=stats.sem(np.concatenate([mut, wt])))
print("approx CI for diff:", ci)

8. 小结

t 检验：$\sigma$ 未知时的均值比较；统计量 $\sim t_\nu$。
单样本 / 独立双样本 / 配对三种；注意方差齐性与正态前提。
大 $n$ 或 $\sigma$ 已知时可考虑 Z 检验。

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参考文献

scipy.stats.ttest_ind