Math-01.显著性检验-05.KS检验

Kolmogorov-Smirnov 检验（KS 检验）比较经验累积分布函数（empirical CDF，ECDF）与理论 CDF，或两个样本的 ECDF，判断分布是否一致，不假设特定参数形式（非参数）。

段末注释：ECDF 为 $F_n(x) = \frac{1}{n}\sum I(X_i \le x)$；KS 统计量 $D$ 为两 CDF 最大垂直距离。

1. 检验问题（D1）

$图 1　KS 检验直观$

类型	$H_0$
单样本	数据来自指定分布 $F_0$
两样本	两独立样本来自同一连续分布

2. 数据条件（D2）

条件	说明
连续	单样本 KS 对离散数据 p 值偏保守
独立	i.i.d.
单样本	需指定完全 $F_0$（含参数应用估计校正）
两样本	任意连续分布，不假设形态

3. 检验统计量（D3–D4）

$图 2　D = max|F_n - F_0|$

$$
D = \sup_x |F_n(x) - F_0(x)|
$$

两样本：$D = \sup_x |F_{n_1}(x) - F_{n_2}(x)|$。大 $n$ 下 $H_0$ 成立时 $D$ 的分布有表 / 渐近公式。

4. 适用场景（D5–D7）

$图 3　适用场景$

场景	用法
残差是否正态	对残差做单样本 KS（vs 正态）
两组表达分布是否同形	两样本 KS
模拟数据 vs 理论	单样本 KS
与 08 正态性	Shapiro 专检正态；KS 更通用

5. 局限与误用（D8）

$图 4　局限$

问题	说明
参数估计未校正	从数据估 $\mu,\sigma$ 再 KS 会过于乐观
离散数据	应用卡方或专门检验
中心敏感	对尾部差异不如 AD 检验
大 $n$ 必显著	微小偏离也拒绝 $H_0$
两样本位置相同但尺度不同	能检出，但效应解读需结合图

6. 示例代码

import numpy as np
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt

rng = np.random.default_rng(42)
data = rng.normal(0, 1, 50)
# 单样本：vs 标准正态（参数固定时）
d, p = stats.kstest(data, 'norm')
print(f"KS vs N(0,1) fixed: D={d:.3f}, p={p:.4f}")

# 两样本
g1 = rng.normal(0, 1, 40)
g2 = rng.normal(0.3, 1, 40)
d2, p2 = stats.ks_2samp(g1, g2)
print(f"2-sample KS: D={d2:.3f}, p={p2:.4f}")

# ECDF 可视化
for g, lab in [(g1, 'G1'), (g2, 'G2')]:
    x = np.sort(g)
    y = np.arange(1, len(g)+1) / len(g)
    plt.step(x, y, where='post', label=lab)
plt.legend(); plt.title('ECDF comparison')
plt.savefig('ks_ecdf.png', dpi=150)

7. 小结

KS 检验：CDF 最大距离 $D$；单样本拟合 / 两样本同分布。
连续、独立；参数需已知或 Bootstrap 校正。

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参考文献

scipy.stats.kstest