Math-02.相关性检验-04.Kendall相关

Kendall 秩相关系数（Kendall’s tau，$\tau$）基于一致对（concordant pairs）与分歧对（discordant pairs）的比例，适用于有序变量、小样本及多并列秩（tied ranks）情形。

段末注释：一致对指 $(x_i-x_j)(y_i-y_j)>0$ 的样本对；分歧对符号相反。

系列：01 总论 | 对比：03 Spearman

1. 定义与直观（D1）

$图 1　Kendall 直观$

比较所有 $\binom{n}{2}$ 对 $(i,j)$：$X$ 与 $Y$ 的排序是否一致。$\tau=1$ 完全同序，$\tau=-1$ 完全反序。

2. 数据前提（D2）

条件	说明
有序/连续	可比较大小
单调	与 Spearman 类似
小 $n$	比 Spearman 推断更稳
并列秩	用 Tau-b（`scipy` 默认）

3. 公式与显著性（D3–D4）

$图 2　Tau-b 与一致/分歧对$

$$
\tau_b = \frac{C - D}{\sqrt{(C+D+T_x)(C+D+T_y)}}
$$

$C$：一致对数；$D$：分歧对数；$T_x,T_y$：$X$/$Y$ 上并列对数。

Tau-a（无并列）：$\tau_a = (C-D)/\binom{n}{2}$。

$H_0: \tau=0$：scipy.stats.kendalltau 提供渐近 p 值。

4. 适用场景（D5–D7）

$图 3　适用场景$

场景	说明
肥胖等级 vs 指标	有序类别
小样本 $(n<30)$	秩检验稳健
重复值多	Tau-b
与 Spearman 对照	结论应相近

5. 局限与误用（D8）

$图 4　局限$

问题	说明
大 $n$ 计算慢	$O(n^2)$ 对
非单调	与 Spearman 同样失效
$\|\tau\| < \|\rho_s\|$ 常见	尺度不同，勿直接比大小
仅报 τ 不报 n	小样本需谨慎

6. 示例代码

import numpy as np
from scipy import stats

# 有序 + 并列
x1 = [12, 2, 1, 12, 2, 3, 4]
x2 = [1, 4, 7, 1, 0, 5, 3]

tau, p = stats.kendalltau(x1, x2)
rho, p_s = stats.spearmanr(x1, x2)
print(f"Kendall tau={tau:.3f}, p={p:.4f}")
print(f"Spearman rho={rho:.3f}, p={p_s:.4f}")

# 小样本
rng = np.random.default_rng(1)
a, b = rng.integers(1, 6, 12), rng.integers(1, 6, 12)
print(f"n=12: tau={stats.kendalltau(a,b)[0]:.3f}")

7. 小结

Kendall $\tau$：一致对比例；Tau-b 处理并列。
有序数据、小样本优选；与 Spearman 常同时报告。

系列导航：03 Spearman | 05 偏相关

参考文献

scipy.stats.kendalltau